数学归纳法证明1/2^2+1/3^2+.......+1/N^2<(N-1)/N

①N=2时，不等式成立。1/4 < 1/2
②设N=k时，不等式成立。即
1/2^2+1/3^2+.......+1/k^2<(k-1)/k
N=k+1时，即证
1/2^2+1/3^2+.......+1/k^2+1/(k+1)^2<k/(k+1)
即证
(k-1)/k + 1/(k+1)^2 < k/(k+1)
通分化简得：
k<k+1,显然成立。
③综上所述，命题成立。